Algebra

Forma kursu:
Wykład tradycyjny, zawierający prezentacje komputerowe. Część ćwiczeń (około 20%) w pracowni komputerowej z wykorzystaniem systemu Mathematica lub podobnego.
Opis kursu:
Wprowadzenie w teorię struktur algebraicznych - grup, pierścieni, ciał, algebr ogólnych i innych, z przykładami zastosowań.

Treści programowe:

• Teoria grup: wprowadzenie, półgrupy, monoidy; homomorfizmy, podgrupy, produkt; grupy cykliczne i p-grupy; warstwy, podgrupy normalne, grupy ilorazowe, grupy proste; grupy permutacji, grupy alternujące, prezentacje grup; grupy abelowe, grupy nilpotentne, rozwiązalne; twierdzenia Cayley'a, Sylova, Jordana-Holdera.
• Teoria pierścieni: homomorfizmy, ideały i podzielność w pierścieniach; pierścienie wielomianów; pierścienie szeregów formalnych.
• Teoria ciał: ciała skończone; rozszerzenia ciał; teoria Galois.
• Wybrane zastosowania: logarytm dyskretny, algorytmy, zastosowania w kryptografii.
• Inne struktury algebraiczne i algebra ogólna: kraty, półkraty, algebry Boole'a; produkty, podalgebry i homomorfizmy algebr; klasy definiowane równościowo; algorytmy w algebrze ogólnej.

Literatura:

• T.H. Hungerford, Algebra, Springer, 1974.
• S.Lang, Algebra, PWN, 1984.