Analiza Matematyczna I

Forma kursu:
Wykład prowadzony jest w tradycyjny "tablicowy" sposób, ale wzbogacany jest prezentacjami komputerowymi. Ćwiczenia w części są tradycyjne, tablicowe, natomiast część ćwiczeń odbywa się w pracowni komputerowej, gdzie studenci piszą proste programy (Matlab i/lub Mathematica i/lub Maple oraz język C)
Opis kursu:
Zadaniem kursu "Analiza Matematyczna I" jest wprowadzenie studenta w podstawowe zagadnienia rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej.

Treści programowe:

• Wprowadzenie historyczne: rozwój pojęcia liczby, kształtowanie się koncepcji granicy, rozwój metod analizy.
• Podstawy teoriomnogościowe: zbiory, iloczyn kartezjański, relacje, funkcje, relacja równoważności, moc zbioru, liczby naturalne, zasada indukcji, definicje rekurencyjne.
• Podstawy algebraiczne: grupa, grupa przemienna, pierścień, ciało, przestrzeń wektorowa, iloczyn skalarny, norma euklidesowa.
• Podstawy topologiczne: przestrzeń metryczna, zbiory otwarte i domknięte, topologia, bazy otoczeń punktu.
• Struktury porządkowe: przestrzeń częściowo i liniowo uporządkowana, majoranta i minoranta, element maksymalny i minimalny, element największy i najmniejszy, podzbiory gęste, porządki ciągłe, odwzorowania monotoniczne, topologia porządkowa.
• Zbiór liczb rzeczywistych: definicja, własność Archimedesa, funkcja potęgowa, tw. o istnieniu n-tego pierwiastka, algorytm wyznaczania pierwiastka, własność Bernoullego.
• Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych, kresy funkcji.
• Ciało liczb zespolonych, interpretacja geometryczna, równanie kwadratowe.
• Pojęcie granicy: granica funkcji, granica ciągu, granice w przestrzeni metrycznej, granice niewłaściwe, granice jednostronne, punkty graniczne.
• Granice, a struktura algebraiczna i porząkowa: granice sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu, twierdzenie o trzech funkcjach, granice funkcji monotonicznych.
• Pzykłady obliczeniowe granic.
• Ciągłość funkcji, kryteria ciągłości, przykłady funkcji ciągłych, punkty nieciągłości.
• Szeregi: zbieżność, kryteria zbieżności, przykłady, szeregi potęgowe, działania na szeregach, zmiana kolejności sumowania.
• Funkcja wykładnicza i logarytmiczna zespolona i rzeczywista, funkcje trygonometryczne, podstawowe własności.
• Różniczkowanie funkcji jednej zmiennej: pochodna w punkcie, różniczka w punkcie, twierdzenie o różniczkowaniu sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu, złożenia, funkcji odwrotnej, różniczkowanie funkcji elementarnych, metoda Newtona wyznaczania miejsc zerowych funkcji.
• Twierdzenia o wartości średniej: twierdzenie Rolla, Lagrange'a, pochodna a monotoniczność, reguła de'Hospitala
• Pochodne wyższych rzędów: n-ta pochodna, funkcje klasy Cⁿ, wielomian Taylora, tw. Peano i Lagrange'a o funkcji płaskiej, wzór Taylora z resztą Peano i Lagrange'a.
• Całka Riemanna: sumy Darboux, całka dolna i górna, całkowalność w sensie Riemanna, kryteria całkowalności, przykłady funkcji całkowalnych i niecałkowalnych, sumy aproksymacyjne.
• Pochodna, a całka: funkcja pierwotna, całka nieoznaczona, podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego, twierdzenie o całkowaniu przez części i przez podstawienie, twierdzenia o wartości średniej dla całek, techniki całkowania.
• Ciągi i szeregi funkcyjne: zbieżność punktowa i jednostajna, zbieżność jednostajna, a ciągłość, całkowanie i różniczkowanie, twierdzenie Weierstrassa o aproksymowaniu funkcji ciągłych wielomianami.
• Szeregi potęgowe: definicja, promień zbieżności, funkcje analityczne.
• Szeregi Fouriera: wielomiany trygonometryczne, układy ortonormalne funkcji, rozwijanie funkcji okresowych w szereg Fouriera, nierówność Bessela, twierdzenie o zbieżności punktowej, twierdzenie Parsevala.

Literatura:

• F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1969.
• W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1982.
• W. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2001.
• G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I, II i III. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
• W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986.
• J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2001.