Analiza Matematyczna II

Forma kursu:
Wykład prowadzony jest w tradycyjny "tablicowy" sposób, ale wzbogacany jest prezentacjami komputerowymi. Ćwiczenia w części są tradycyjne, tablicowe, natomiast część ćwiczeń odbywa się w pracowni komputerowej, gdzie studenci piszą proste programy (Matlab i/lub Mathematica i/lub Maple).
Opis kursu:
Zadaniem kursu "Analiza Matematyczna II" jest zapoznanie studenta z zagadnieniami rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych rzeczywistych oraz elementami analizy zespolonej i topologii różniczkowej.

Treści programowe:

• Funkcje wielu zmiennych - wykresy, poziomice i przekroje, granice i ciągłość.
• Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych o wartościach wektorowych - różniczka, pochodne cząstkowe, pochodna kierunkowa, gradient, reguły łańcuchowe dla pochodnych cząstkowych, macierz Jacobiego.
• Różniczki wyższych rzędów - k-ta różniczka, pochodne cząstkowe k-tego rzędu, symetria różniczki i równość pochodnych mieszanych, zapis macierzowy, funkcje klasy Cⁿ .
• Twierdzenie o przyrostach skończonych, wzór Taylora (z resztą Peano i Lagrange'a).
• Formy kwadratowe i ekstrema lokalne funkcji - (słaba) określoność formy kwadratowej, warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum lokalnego.
• Ekstrema warunkowe - warunek konieczny, metoda mnożników Lagrange'a.
• Twierdzenia o funkcji odwrotnej i o funkcji uwikłanej, różniczkowanie funkcji uwikłanych, ekstrema lokalne funkcji uwikłanych.
• Elementy rachunku różniczkowego w przestrzeniach unormowanych (informacja).
• Ciągi i szeregi funkcyjne - zbieżność, różniczkowalność, szeregi potęgowe, szereg Taylora, funkcje analityczne.
• Pochodna zespolona, funkcje holomorficzne (warunki równoważne), elementarne funkcje zespolone.
• Podrozmaitości w przestrzeni euklidesowej - charakteryzacja (warunki równoważne), przestrzeń i wiązka styczna, odwzorowanie styczne.
• Zastosowanie algebraicznych systemów komputerowych (Maple, Mathematica, Matlab itp.) w zagadnieniach rachunku różniczkowego i analizy zespolonej - przykłady.

Literatura:

• J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa, 2001.
• A. Birkholz, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa, 2002.
• J. Conway, Functions of one complex variable, Springer, New York, 1978.
• L. M. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków. I. Podstawy, Wyd. UJ, Kraków, 1995.
• L. M. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków. II. Wybrane zagadnienia, Wyg. UJ, Kraków, 1997.
• G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I, II i III, PWN, Warszawa, 1978.
• M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, Gis, Wrocław, 2004.
• W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I i II, PWN, Warszawa, 1986.
• J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych, PWN, Warszawa, 1975.
• F. Leja, Funkcje zespolone, PWN, Warszawa, 1979.
• W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1982.
• W. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 2001.
• M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, Warszawa, 2005.