Równania różniczkowe zwyczajne

Forma kursu:
Wykład prowadzony jest w tradycyjny "tablicowy" sposób, ale wzbogacany jest prezentacjami komputerowymi.
Opis kursu:
Zadaniem kursu jest wprowadzenie studenta w podstawowe zagadnienia teorii równań różniczkowych zwyczajnych.

Treści programowe:

• Pojęcie równania różniczkowego zwyczajnego i jego rozwiązania. Zagadnienie początkowe. Metody rozwiązywania równania skalarnego: równanie o zmiennych rozdzielonych, równanie jednorodne, równanie liniowe i Bernoulliego, całka pierwsza i czynnik całkujący.
• Twierdzenia o lokalnym istnieniu i jednoznaczności rozwiązań. Lemat Gronwalla. Ciągła i gładka zależność rozwiązań od wartości początkowych i parametrów. Rozwiązania wysycone.
• Układy równań liniowych. Układy równań liniowych o stałych współczynnikach. Równania liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach. Oscylator harmoniczny z tłumieniem i wymuszeniem.
• Równania różniczkowe autonomiczne i układy dynamiczne. Pole wektorowe. Stabilność punktu stacjonarnego w sensie Lapunowa i stabilność asymptotyczna. Funkcja Lapunowa i równania gradientowe. Linearyzacja informacja. Portret fazowy. Portrety fazowe równań liniowych na płaszczyźnie. Wahadło matematyczne. Równanie logistyczne i układ drapieżnik ofiara Lotki-Volterry.
• Elementy mechaniki klasycznej. Równanie Newtona z jednym stopniem swobody. Ruch w centralnym polu sił. Prawa Keplera.
• Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych metoda Eulera, Runge-Kutty.

Literatura:

• W. I. Arnold, Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa 1975.
• J. Ombach, Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo-Maple, Wydawnictwo UJ, Kraków 1999.
• W. Szlenk, Wstęp do teorii gładkich układów dynamicznych, PWN, Warszawa, 1982