Topologia

Forma kursu:
Wykład prowadzony jest w tradycyjny "tablicowy" sposób, ale wzbogacany jest prezentacjami komputerowymi.
Opis kursu:
Zadaniem kursu Topologia jest wprowadzenie studenta w podstawowe zagadnienia topologii ogólnej i algebraicznej.

Treści programowe:

• Przestrzeń topologiczna: definicja, baza i podbaza, aksjomaty oddzielania.
• Przykłady przestrzeni topologicznych, topologia metryczna i porządkowa.
• Wnętrze i domknięcie, zbiory otwarte i domknięte.
• Topologia indukowana, iloczynu kartezjańskiego, sumy rozłącznej.
• Odwzorowania ciągłe, homeomorfizmy.
• Zwartość: przestrzenie zwarte, charakterystyka zbiorów zwartych w Rⁿ , własności zbiorów zwartych, własności odwzorowań w kontekście zbiorów zwartych, lokalna zwartość.
• Spójność: przestrzenie spójne, własności zbiorów spójnych, składowe spójne, własności odwzorowań w kontekście zbiorów spójnych, lokalna spójność.
• Metryzowalność: przestrzenie metryczne i metryzowalne, przestrzenie zupełne.
• Homotopia: typ homotopii, ściągalność, własność rozszerzania i nakrywania homotopii.
• Retrakty: retrakcje, retrakty absolutne, retrakty otoczeniowe, retrakty deformacyjne.
• Sympleks, kompleks symplicjalny, wielościan, odwzorowanie symplicjalne, aproksymacja symplicjalna.
• Grupa krawędziowa kompleksu symplicjalnego, grupa podstawowa przestrzeni topologicznej.
• Grupa homologii kompleksu symplicjalnego, algorytm wyznaczania homologii za pomocą diagonalizacji Smitha.
• Grupa homologii odwzorowania, lemat Spernera, twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym.

Literatura:

• R. Duda, Wprowadzenie do topologii, Część I i II, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1986.
• R. Engelking, Topologia ogólna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2007.
• K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2004.